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2020-02-10 08:50

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  三角形的中心及其性質 KS3-MS9-3-f2 /p.1 of 12 學習階段 學習範疇 學習單位 基本能力 簡介: :三 : 度量、圖形與空間範疇 : 以演繹法學習幾何 : KS3-MS9-3 識別三角形的中線、垂直平分線、高線及角平分線 1. 教師派發「三角形的中心及其性質」工作紙。 2. 學生利用 Java 檔案 “ABC2.html”及“Centres.html”去完成工作 紙。 (此檔案需與其他所有檔案放於同一 folder 內才可執行,電腦亦 需安裝了 Java 軟體。) 3. 學生利用檔案 “ABC2.html”,在 Java 的互動幾何的環境中,透 過特別設計的工具簡便地分別作出三角形的中線、角平分線、高 線及垂直平分線,從而認識這些線的共點性質。 4. 學生再利用檔案 “Centres.html”,透過拖拉頂點到不同的位置, 認識形心將以 2:1 這個比將各中線分成兩份。 5. 學生再使用「圓」工具( )及特別設計的 工具,在各個 中心點嘗試構作外接圓及內切圓,從而認識外心和內心分別是外 接圓及內切圓的中心。 KS3-MS9-3-f2 /p.2 of 12 學習單位:以演繹法學習幾何– 「三角形的中心及其性質」工作紙 三角形的中心及其性質 開啟檔案“ABC2.html”,可看到以下畫面: 畫面顯示的?ABC,它的三個頂點 A、B、C 可被隨意拖拉到不同的位置。 題一:三角形的三條中線 1. 點選「中線」工具( ),再依次點選 A、B、C 三點, 構作中線 AD(圖 1)。 2. 再依次點選 B、C、A 及 C、A、B,構作中線 BE 及 CF。 3. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條中線的變化,回答以 下問題: (a) 三條中線是否相交於同一點? (b) 若三條中線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? 圖1 是? 否? 是? 否? 題二:三角形的三條角平分線 1. 點選「重新整理」按鈕( )。 KS3-MS9-3-f2 /p.3 of 12 2. 點選「角平分線」工具( ),再依次點選 A、B、C 三點,構作角平分線 AD(圖 2)。 3. 再依次點選 B、C、A 及 C、A、B,構作角平分線 BE 及 CF。 圖2 4. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條角平分線的變化,回答以下問題: (a) 三條角平分線是否相交於同一點? 是? 否? (b) 若三條角平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內? 是? 否? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? 題三:三角形的三條高線 1. 點選「重新整理」按鈕( )。 2. 點選「高線」工具( ),再依次點選 A、B、C 三點, 構作高線 AD(圖 3)。 3. 再依次點選 B、C、A 及 C、A、B,構作角高線 BE 及 CF。 圖3 4. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條高線的變化,回答以下問題: (a) 三條高線是否相交於同一點? 是? 否? (b) 若三條高線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內? 是? 否? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? 題四:三角形的三條垂直平分線 1. 點選「重新整理」按鈕( )。 KS3-MS9-3-f2 /p.4 of 12 2. 點選「垂直平分線」工具( ),再點選線段 BC, 構作它的垂直平分線(圖 4)。 3. 再依次點選線段 CA 及 AB,構作它們的垂直平分線。 圖4 4. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條垂直平分的變化,回答以下問題: (a) 三條垂直平分線是否相交於同一點? 是? 否? (b) 若三條垂直平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內? 是? 否? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? 題五:三角形的中心及其性質 從題一至題四,我們發現三角形的三條中線、三條角平分線、三條高線及三條垂直平分 線都分別相於一點,這些交點都稱為三角形的中心。 開啟檔案“Centres.html”,可看到以下畫面: 畫面顯示四個全等的?ABC,拖拉任何一點紅色點可一起改變四個三個形的形狀,拖拉 綠點可改變三角形的位置。 KS3-MS9-3-f2 /p.5 of 12 1. 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,可看到三角形的四個中心如下: 形心:三角形的三條中線的交點 G; 內心:三角形的三條角平分線的交點 I; 垂心:三角形的三條高線的交點 H; 外心:三角形的三條垂直平分線的交點 O。 2. 圖中,三角形的形心、內心及垂心分別將各中線、角平分線及高線分成兩份。 點選「長度及比」鈕,顯示各線段的長度及它們之間的比。 拖拉紅色點改變三角形的形狀。觀察各線段的長度及它們之間的比的變化。 那一個中心點會以一個固定的比將每條線分成兩份?在以下空位寫下你的發現,並 將相關的圖畫出。 三角形的 心會以 : 這個比將每條 即A : =B : =C : = 線分成兩份, :。 KS3-MS9-3-f2 /p.6 of 12 3. 再點選「長度及比」鈕,隱藏各線段的長度及它們之間的比。 點選「圓」工具( ),再分別點選三角形的形心 G 點 及 A 點,畫一個以 G 為圓心、通過 A 的圓,如圖所示。 這個圓是否也通過 B 及 C? 是? 否? 一個通過三角形三個頂點的圓稱為三角形的外接圓。 用「圓」工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個通過 A 的圓。拖拉紅點改 變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出?ABC 的外接圓? 形心 ? 內心 ? 垂心 ? 外心 ? 4. 點選「重新整理」按鈕( )。 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,顯示三角形的四個中心。 點選 工具,再分別點選三角形的形心 G 點及線段 AB, 畫一個以 G 為圓心、與 AB 只相交於一點的圓,如圖所示。 這個圓是否也與 BC 及 CA 只相交於一點? 是? 否? 一個與三角形三條邊只相交於一點的圓稱為三角形的內切圓。 用 工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個與 AB 只相交於一點的圓。 拖拉紅點改變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出?ABC 的內切圓? 形心 ? 內心 ? 垂心 ? 外心 ? 總結 三角形的外接圓的圓心是三角形的 三角形的內切圓的圓心是三角形的 心。 心。 完 KS3-MS9-3-f2 /p.7 of 12 學習單位:以演繹法學習幾何– 「三角形的中心及其性質」工作紙 三角形的中心及其性質(答案) 開啟檔案“ABC2.html”,可看到以下畫面: 畫面顯示的?ABC,它的三個頂點 A、B、C 可被隨意拖拉到不同的位置。 題一:三角形的三條中線 1. 點選「中線」工具( ),再依次點選 A、B、C 三點, 構作中線 AD(圖 1)。 2. 再依次點選 B、C、A 及 C、A、B,構作中線 BE 及 CF。 3. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條中線的變化,回答以 下問題: (a) 三條中線是否相交於同一點? (b) 若三條中線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? 圖1 是? 否? 是? 否? 題二:三角形的三條角平分線 1. 點選「重新整理」按鈕( )。 KS3-MS9-3-f2 /p.8 of 12 2. 點選「角平分線」工具( ),再依次點選 A、B、C 三點,構作角平分線 AD(圖 2)。 3. 再依次點選 B、C、A 及 C、A、B,構作角平分線 BE 及 CF。 圖2 4. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條角平分線的變化,回答以下問題: (a) 三條角平分線是否相交於同一點? 是? 否? (b) 若三條角平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內? 是? 否? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? 題三:三角形的三條高線 1. 點選「重新整理」按鈕( )。 2. 點選「高線」工具( ),再依次點選 A、B、C 三點, 構作高線 AD(圖 3)。 3. 再依次點選 B、C、A 及 C、A、B,構作角高線 BE 及 CF。 圖3 4. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條高線的變化,回答以下問題: (a) 三條高線是否相交於同一點? 是? 否? (b) 若三條高線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內? 是? 否? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? ?ABC 為鈍角三角形時。 題四:三角形的三條垂直平分線 1. 點選「重新整理」按鈕( )。 KS3-MS9-3-f2 /p.9 of 12 2. 點選「垂直平分線」工具( ),再點選線段 BC, 構作它的垂直平分線(圖 4)。 3. 再依次點選線段 CA 及 AB,構作它們的垂直平分線。 圖4 4. 拖拉三個頂點 A、B、C,觀察三條垂直平分的變化,回答以下問題: (a) 三條垂直平分線是否相交於同一點? 是? 否? (b) 若三條垂直平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內? 是? 否? (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外? ?ABC 為鈍角三角形時。 題五:三角形的中心及其性質 從題一至題四,我們發現三角形的三條中線、三條角平分線、三條高線及三條垂直平分 線都分別相於一點,這些交點都稱為三角形的中心。 開啟檔案“Centres.html”,可看到以下畫面: 畫面顯示四個全等的?ABC,拖拉任何一點紅色點可一起改變四個三個形的形狀,拖拉 綠點可改變三角形的位置。 KS3-MS9-3-f2 /p.10 of 12 1. 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,可看到三角形的四個中心如下: 形心:三角形的三條中線的交點 G; 內心:三角形的三條角平分線的交點 I; 垂心:三角形的三條高線的交點 H; 外心:三角形的三條垂直平分線的交點 O。 2. 圖中,三角形的形心、內心及垂心分別將各中線、角平分線及高線分成兩份。 點選「長度及比」鈕,顯示各線段的長度及它們之間的比。 拖拉紅色點改變三角形的形狀。觀察各線段的長度及它們之間的比的變化。 那一個中心點會以一個固定的比將每條線分成兩份?在以下空位寫下你的發現,並 將相關的圖畫出。 三角形的 形 心會以 2 : 1 這個比將每條 中 線分成兩份, 即 A G : GD = B G : GE = C G : GF = 2 : 1 。 KS3-MS9-3-f2 /p.11 of 12 3. 再點選「長度及比」鈕,隱藏各線段的長度及它們之間的比。 點選「圓」工具( ),再分別點選三角形的形心 G 點 及 A 點,畫一個以 G 為圓心、通過 A 的圓,如圖所示。 這個圓是否也通過 B 及 C? 是? 否? 一個通過三角形三個頂點的圓稱為三角形的外接圓。 用「圓」工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個通過 A 的圓。拖拉紅點改 變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出?ABC 的外接圓? 形心 ? 內心 ? 垂心 ? 外心 ? 5. 點選「重新整理」按鈕( )。 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,顯示三角形的四個中心。 點選 工具,再分別點選三角形的形心 G 點及線段 AB, 畫一個以 G 為圓心、與 AB 只相交於一點的圓,如圖所示。 這個圓是否也與 BC 及 CA 只相交於一點? 是? 否? 一個與三角形三條邊只相交於一點的圓稱為三角形的內切圓。 用 工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個與 AB 只相交於一點的圓。 拖拉紅點改變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出?ABC 的內切圓? 形心 ? 內心 ? 垂心 ? 外心 ? 總結 三角形的外接圓的圓心是三角形的 外 心。 三角形的內切圓的圓心是三角形的 內 心。 完 KS3-MS9-3-f2 /p.12 of 12